Question

14．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面CDE．
（2）取CE的中点Q，连结FQ，由FD，FQ，FA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）利用向量法能求出平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（4分）
（Ⅱ）解：取CE的中点Q，连接FQ，
∵F为CD的中点，∴FQ∥DE，故DE⊥平面ACD
∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，
如图建立空间直角坐标系F-xyz，则F（0，0，0），C（-1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，$\sqrt{3}$），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{CB}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（2，2，0），
设平面CBE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{3}=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$
设x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）
∴cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直线AC与平面CBE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$；．…（10分）
（Ⅲ）平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{FQ}$=（0，1，0），则cos＜$\overrightarrow{FQ}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{|0-1+0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．…（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线AC与平面CBE所成角正弦值、求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小的求法，解题时要注意向量法的合理运用．