Question

17．已知函数f（x）=e^x（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）证明：对?x∈R，不等式f（x）≥x+1恒成立；
（2）数列{$\frac{lnn}{{n}^{2}}$}（n∈N^*）的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）设h（x）=f（x）-x-1=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．分别解出h′（x）＞0，h′（x）＜0，即可得出单调性极值与最值．（2）由（1）可得：对?x∈R，e^x≥x+1恒成立．令x+1=n²，则${e}^{{n}^{2}-1}≥{n}^{2}$，可得n²-1≥lnn².$\frac{lnn}{{n}^{2}}$$≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$$＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n（n+1）}）$=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$．利用“裂项求和”即可证明．

解答 （1）证明：设h（x）=f（x）-x-1=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．
当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
当x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
∴当x=0时，函数h（x）取得最小值，h（0）=0，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f（x）≥x+1．
（2）解：由（1）可得：对?x∈R，e^x≥x+1恒成立．
令x+1=n²，则${e}^{{n}^{2}-1}≥{n}^{2}$，∴n²-1≥lnn²．
∴$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$$≥\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{2lnn}{{n}^{2}}$．
∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}$$≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$$＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n（n+1）}）$=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$．
∴T_n$＜\frac{1}{2}[n-（1-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质、“放缩法”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．