Question

1．已知5cos²α+4cos²β=4cosα，则2cos²α+cos2β+1的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{16}{25}$]
• B． [-$\frac{5}{2}$，2]
• C． [-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [0，$\frac{32}{25}$]

Answer 1

分析 记x=cosα，则 cos²β=-$\frac{5}{4}$x2+x≥0，解得0≤x≤$\frac{4}{5}$，把cos²α+cos²β=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，故x=$\frac{4}{5}$时，cos²α+cos²β取最大值；x=0时，cos²α+cos²β取最小值，从而得到
cos²α+cos²β 的取值范围，由2cos²α+cos2β+1=2（cos²α+cos²β）即可得解．

解答 解：记x=cosα，则 cos²β=-$\frac{5}{4}$x²+x≥0，解得0≤x≤$\frac{4}{5}$ （而不是0≤x≤1，此步非常关键，大部分同学都会在此处疏漏，导致答案错误）．
∴cos²α+cos²β=x²-$\frac{5}{4}$x²+x=-$\frac{{x}^{2}}{4}$+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，由单调性可知，
x=$\frac{4}{5}$时，cos²α+cos²β取得最大值为$\frac{16}{25}$；x=0时，cos²α+cos²β取得最小值为0，即cos²α+cos²β 的取值范围是[0，$\frac{16}{25}$]．
∵2cos²α+cos2β+1=2（cos²α+cos²β），
∴2cos²α+cos2β+1的取值范围是：[0，$\frac{32}{25}$]
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的最值的求法，二次函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题．