Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，sin（ωx+$\frac{2}{3}$π）），ω＞0，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）当ω=2时，求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在区域[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当ω=2时，化简解析式可得f（x）=-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可求周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间．
（2）由f（x）=-$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），根据题意可得：$\frac{5}{4}×\frac{2π}{ω}$＞2π，$\frac{3}{4}×\frac{2π}{ω}＜2π$，ω＞0，从而解得ω的取值范围．

解答 解：（1）∵当ω=2时，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin（2x+$\frac{2}{3}$π）-sin2x=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）由于f（x）=-$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$），在区域[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，
 也就是$\frac{5}{4}×\frac{2π}{ω}$＞2π，$\frac{3}{4}×\frac{2π}{ω}＜2π$，ω＞0，
从而解得：$\frac{3}{4}＜ω＜\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，平面向量及应用，属于基本知识的考查．