Question

20．在平面直角坐标系xoy中，设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左准线为l．P为椭圆C上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A．
（1）若b=1，且b＜c，直线l的方程为x=-$\frac{5}{2}$
（i）求椭圆C的方程
（ii）是否存在点P，使得$\frac{FP}{FQ}=\frac{1}{10}$？，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线FP与圆O：x²+y²=a²交于M，N两点，求证：直线AM，AN均与圆O相切．

Answer 1

分析 （1）（i）将b=1代入椭圆的方程，根据椭圆的性质从而求出b，c；（ii）设P（m，n），表示出P点的坐标，根据FP、FQ的关系从而得到答案；
（2）设出M（x₀，y₀），表示出A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t），求出$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{OA}$的坐标，由$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OA}$=0，求出t，得到$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$的表达式，从而证出结论．

解答 解：（1）（i）由题意，b=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{5}{2}$，又a²=b²+c²，
所以2c²-5c+2=0，解得c=2，或c=$\frac{1}{2}$（舍去）．故a²=5．
所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（ii）设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{5}$+n²=1，即n²=1-$\frac{{m}^{2}}{5}$．
当m=-2，或n=0时，均不符合题意； 
当m≠-2，n≠0时，直线FP的斜率为$\frac{n}{m+2}$，
直线FP的方程为y=$\frac{n}{m+2}$ （x+2）．
故直线AO的方程为y=-$\frac{m+2}{n}$x，
Q点的纵坐标y_Q=$\frac{2n（m+2）}{{（m+2）}^{2}{+n}^{2}}$，
所以$\frac{FP}{FQ}$=|$\frac{n}{yP}$|=|$\frac{{（m+2）}^{2}{+n}^{2}}{2（m+2）}$|
=|$\frac{{4m}^{2}+20m+25}{10（m+2）}$|，
令$\frac{FP}{FQ}$=$\frac{1}{10}$，得4m²+21m+27=0 ①，或4m²+19m+23=0 ②，
由4m²+21m+27=0，解得m=-3，m=-$\frac{9}{4}$，
又-$\sqrt{5}$≤m≤$\sqrt{5}$，所以方程①无解．
由于△=19²-4×4×23＜0，所以方程②无解，
故不存在点P使$\frac{FP}{FQ}$=$\frac{1}{10}$．
（3）设M（x₀，y₀），A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t），
则$\overrightarrow{FM}$=（x₀+c，y₀），$\overrightarrow{OA}$=（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t）．
因为OA⊥FM，所以$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OA}$=0，即（x₀+c）（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+ty₀=0，
由题意y₀≠0，所以t=$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$．
所以A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$）．
因为$\overrightarrow{AM}$=（x₀+$\frac{a2}{c}$，y₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$），$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），
所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$=（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）x₀+（y₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$）y₀
=x₀²+y₀²+$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$y₀
=x₀²+y₀²+$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-a²
=x₀²+y₀²-a²．
因为M（x₀，y₀）在圆O上，所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$=0．
即AM⊥OM，所以直线AM与圆O相切．
同理可证直线AN与圆O相切．

点评 本题考察了直线和椭圆的关系，考察椭圆的方程问题，考察向量的应用，本题是一道难题．