Question

5．求面积为10π，且经过两圆x²+y²-2x+10y-24=0和x²+y²+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

Answer 1

分析 解法一：将两圆的方程联立得方程组，求得两圆的交点A、B坐标，可得线段AB的中点C的坐标以及AB的斜率，用点斜式求得线段AB的中垂线方程，设出圆心C的坐标，再根据CA=$\sqrt{10}$，求得圆心坐标，可得所求圆的方程．
解法二：设所求的圆的方程为x²+y²-2x+10y-24+k（x²+y²+2x+2y-8）=0，再据半径为$\sqrt{10}$，求出k的值，可得要求的圆的方程．

解答 解：解法一：将两圆的方程联立得方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2x+10y-24=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+2x+2y-8=0}\end{array}\right.$，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（-4，0），B（0，2），可得线段AB的中点C（-2，1），AB的斜率为$\frac{2-0}{0+4}$=$\frac{1}{2}$，
故线段AB的中垂线方程为y-1=-2（x+2），即 y=-2x-3，故可设圆心C（a，-2a-3），
再根据CA=$\sqrt{10}$，可得（a+4）²+（-2a-3）²=10．
求得a=-3，从而圆心坐标是（-3，3），故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
解法二：设所求的圆的方程为x²+y²-2x+10y-24+k（x²+y²+2x+2y-8）=0，即 （k+1）x²+（k+1）y²+（2k-2）x+（2k+10）y-24-8k=0，
即 x²+y²+$\frac{2k-2}{k+1}$x+$\frac{2k+10}{k+1}$y-$\frac{24+8k}{k+1}$=0．
再根据所求的圆的面积为10π，可得半径为$\sqrt{10}$，∴$\frac{1}{4}$×（${（\frac{2k-2}{k+1}）}^{2}$+${（\frac{2k+10}{k+1}）}^{2}$+4•$\frac{24+8k}{k+1}$）=10，
求得k=-2，可得要求的圆的方程为 x²+y²+6x-6y+8=0．

点评 本题考查直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了圆的几何性质，圆的方程的求法：待定系数法求方程的思想方法，圆系方程的概念，属于中档题．