Question

13．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{OB}$=（3，2），$\overrightarrow{OC}$=（M，2M+1），若点A，B，C能构成三角形，
（1）求实数m满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，因为A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，得到关于m的不等式解之；
（2）由已知三角形为直角三角形，得到有三种可能，根据向量垂直的性质得到m的三个方程解之．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（1，3），$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（m-2，2m+2），
又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，
所以3（m-2）-（2m+2）≠0，解得m≠8；
（2）由题知△ABC为直角三角形，即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，或者$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$或者$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$，
且$\overrightarrow{BC}$=（m-3，2m-1）
所以m-2+3（2m+2）=0或者m-3+3（2m-1）=0或者（m-2）（m-3）+（2m+2）（2m-1）=0，
解得，m=$-\frac{4}{7}$或者m=$\frac{6}{7}$或者∅，
所以当△ABC为直角三角形，m的值为$-\frac{4}{7}$或者m=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查了向量的共线、垂直的坐标运算；属于基础题．