Question

18．设关于x的方程x²-ax-1=0和x²-x-2a=0的实根分别为x₁、x₂和x₃、x₄，若x₁＜x₃＜x₂＜x₄，则实数a的取值范围为$（0，\frac{3-\sqrt{3}}{2}）$．

Answer 1

分析 由x²-ax-1=0得ax=x²-1，由x²-x-2a=0得2a=x²-x，构造函数y=x²-x和y=2x-$\frac{2}{x}$，在同一坐标系中作出两个函数得图象，并求出x²-x=2x-$\frac{2}{x}$的解即两图象交点的横坐标，结合条件和函数的图象求出a的取值范围．

解答 解：由x²-x-2a=0得2a=x²-x，
由x²-ax-1=0（x≠0）得ax=x²-1，则2a=2x-$\frac{2}{x}$，
作出函数y=x²-x和y=2x-$\frac{2}{x}$的函数图象如下图：
由x²-x=2x-$\frac{2}{x}$得，x²-3x+$\frac{2}{x}$=0，则$\frac{{x}^{3}-3{x}^{2}+2}{x}$=0，
∴$\frac{{（x-1）（x}^{2}-2x-2）}{x}$=0，
解得x=1或x=1$+\sqrt{3}$或x=$1-\sqrt{3}$，
∵x₁＜x₃＜x₂＜x₄，且当x=$1-\sqrt{3}$时，可得a=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴由图可得，0＜a＜$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$（0，\frac{3-\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查方程的根、函数的零点与函数图象交点之间的转化，以及构造函数法、数形结合思想，属于难题．