Question

3．已知数列{a_n}满足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），分别令n=3，2，1，解出即可．
（2）由a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），即可证明，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
令n=3，则a₄=2a₃+1=15，解得a₃=7，
同理可得a₂=3，a₁=1．∴a₁=1，a₂=3，a₃=7．
（2）证明：∵a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，∴a_n=2ⁿ-1．
（3）解：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．