Question

8．已知函数f（x）=x²-cosx，对于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x₂；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x₁|＞x₂，其中能使f（x）₁＞f（x₂）恒成立的条件序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，$\frac{π}{2}$]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原点的距离比x₂，到原点的距离大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所给三个条件中找符合条件的即可

解答 解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤$\frac{π}{2}$时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-$\frac{π}{2}$，0]上为减函数．
当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函数f（x）在上[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]为偶函数得f（x₁）＞f（x₂），故②成立．
∵$\frac{π}{3}$＞-$\frac{π}{3}$，而f（$\frac{π}{3}$）=f（$\frac{π}{3}$），
∴①不成立，同理可知③不成立．
故选：B．

点评 本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙，属于中档题．