Question

19．已知平行四边形ABCD的周长为18，又AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，则该平行四边形的面积是（　　）

• A． 32
• B． 17.5
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 设AB=CD=a，AD=BC=b，根据已知周长求出a+b=9，两边平方得到关系式，由余弦定理表示出AC²+BD²，把AC与BD长代入得到关系式，联立求出a与b的值，过C作CE垂直AD于E，如图所示，设DE=x，则AE=5-x，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AE的长，即可求出平行四边形的面积．

解答 解：设AB=CD=a，AD=BC=b，
由周长为18，得到a+b=9，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=81①，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴由余弦定理得：AC²+BD²=a²+b²-2abcos∠ABC+a²+b²-2abcos∠BCD=2（a²+b²），
把AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，代入得：a²+b²=41②，
②代入①得：ab=20，
与a+b=9联立，解得：a=4，b=5，
过C作CE垂直AD于E，如图所示，
设DE=x，则AE=5-x，
由勾股定理得：16-x²=17-（5-x）²=CE²，
解得：x=2.4，CE=3.2，
则S_{平行四边形}=AD•CE=5×3.2=16，
故选：D．

点评 此题考查了余弦定理，完全平方公式的运用，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．