Question

4．如图，在△ABC中，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AD}$；
（Ⅱ）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）对几何图形得出平面向量的运用．
（2）根据中点得出点E是AC边的中点，$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{|DM|}{|AM|}$=$\frac{2}{3}$，利用得出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|）²$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}$$+\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$
（2）过D点作DM∥AC，交BE与点M，
∵$\overrightarrow{BD}$=2DC，DM∥AC，
∴$\frac{|DM|}{|CE|}$=$\frac{|BD|}{|BC|}$=$\frac{2}{3}$，
又∵点E是AC边的中点，
∴$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{2}{3}$，
∵DM∥AC，
∴$\frac{|DM|}{|AE|}$=$\frac{|DM|}{|AM|}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{5}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AF}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF•}\overrightarrow{AB}$
又 AF•AC=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{a}$|$•|\overrightarrow{b}|$cos$\frac{π}{3}$$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{b}$|²
$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|）²$+\frac{2}{5}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}$$+\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积，平面向量的运算，属于中档题，关键是对向量的分解转化，属于几何几何图形的题目．