Question

16．已知空间三点A（0，2，3），B （-2，1，6），C（1，-1，5）
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积  
（2）求平面ABC一个法向量  
（3）若向量$\overrightarrow a$分别与$\overrightarrow{AB}\;，\;\overrightarrow{AC}$垂直，且$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}$求$\overrightarrow a$的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用向量夹角公式可得：cosA，进而得到sinA，即可得出以AB，AC为邻边的平行四边形面积
S=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$sinA．
（2）设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（3）由于$\overrightarrow a⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow a⊥\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow n$，设$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{n}$，利用$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}$，解得λ即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（-2\;，\;-1\;，\;3）$，$\overrightarrow{AC}$=（1，-3，2），
$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{7}{\sqrt{14}×\sqrt{14}}$=$\frac{1}{2}$，
S_{平行四边形ABCD}=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$$sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$
=$\sqrt{14}×\sqrt{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7$\sqrt{3}$．
（2）设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y+3z=0}\\{x-3y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
（3）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow a⊥\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow n$，
设$\overrightarrow{a}$=λ（1，1，1），
∵$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}$，解得λ=±1，
∴$\overrightarrow a$=±（1，1，1）．

点评 本题考查了向量夹角公式、平行四边形面积、平面的法向量、向量垂直与数量积的关系、线面垂直的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．