Question

1．已知函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x（x∈R）$，下列命题：
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$；
③函数f（x）图象的一个对称中心为$（\frac{5π}{12}，0）$；
④函数f（x）的递增区间为$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ}]（k∈Z）$．
其中正确命题的序号为（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），根据正弦函数的性质可判断①不正确；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称轴是x=$\frac{2π}{3}$，②正确；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得函数f（x）的一个对称中心为$（\frac{5π}{12}，0）$，③正确；由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的递增区间，即可判定④不正确．

解答 解：∵$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）-cos2x（x∈R）$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴可得函数f（x）是最小正周期为π的非奇函数，①不正确；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z，当k=1时，可得函数f（x）的一条对称轴是x=$\frac{2π}{3}$，②正确；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，当k=1时，可得函数f（x）的一个对称中心为$（\frac{5π}{12}，0）$，③正确；
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的递增区间为$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ}]（k∈Z）$．④不正确；
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．