Question

7．给出下列四个命题：
①函数f（x）=sin|x|不是周期函数；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为$g（x）=2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$；
③函数f（x）=2sin²x-cosx-1的值域是[-2，1]；
④已知函数f（x）=2cos2x，若存在实数x₁、x₂，使得对任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$；
其中正确命题的序号为①④（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的周期性进行判断．
②根据三角函数的平移关系进行判断．
③根据三角函数的性质结合一元二次函数的最值进行求解即可．
④根据三角函数的对称性和最值性结合三角函数的周期性进行判断即可．

解答 解：①函数f（x）=sin|x|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x≥0}\\{-sinx，}&{x＜0}\end{array}\right.$是偶函数，关于y轴对称，则函数f（x）不是周期函数，故①正确；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y=2sin$\frac{1}{2}x$，
然后再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数解析式可以表示为y=2sin$\frac{1}{2}（x-\frac{π}{6}）$，故②错误；
③函数f（x）=2sin²x-cosx-1=2（1-cos²x）-cosx-1=-2cos²x-cosx+1
=-2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴当cosx=-$\frac{1}{4}$时，函数取得最大值$\frac{9}{8}$，
当cosx=1时，函数取得最小值-2-1+1=-2，
即函数的值域是[-2，$\frac{9}{8}$]；故③错误．
④若存在实数x₁、x₂，使得对任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
则f（x₁）为函数f（x）的最小值，f（x₂）为函数f（x）的最大值，
则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，故④正确．
故正确的命题是①④，
故答案为：①④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的内容主要是三角函数的图象和性质以及三角函数的图象变换，综合考查三角形的性质的应用．