Question

18．函数f（x）=e^x+x²+2x+1与g（x）的图象关于直线3x-y-2=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{6\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{4\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 根据函数f（x）和g（x）关于直线3x-y-2=0对称，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可

解答 解：∵f（x）=e^x+x²+2x+1，
∴f′（x）=e^x+2x+2，
∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线3x-y-2=0对称，
∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．
直线3x-y-2=0的斜率k=3，
由f′（x）=e^x+2x+2=3，
即e^x+2x-1=0，
解得x=0，
此时对于的切点坐标为（0，2），
∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=3x-2，
两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线3x-y-2=0的最小距离，
此时d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f（x）到直线的距离是解决本题的关键．