Question

9．已知$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$cos（β+\frac{3π}{4}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$α，β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 结合角的范围可求cos（$α+\frac{π}{4}$），sin（$β+\frac{3π}{4}$），利用两角和与差的余弦函数公式即可求cos（α+β）=-cos[（$α+\frac{π}{4}$）+（$β+\frac{3π}{4}$）]的值．

解答 解：由$α∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，得$α+\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{2}$，π），故cos（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（3分）
由$β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，得$β+\frac{3π}{4}$∈（π，$\frac{3π}{2}$），故sin（$β+\frac{3π}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，…（6分）
所以cos（α+β）=-cos[（$α+\frac{π}{4}$）+（$β+\frac{3π}{4}$）]…（8分）
=-[cos（$α+\frac{π}{4}$）cos（$β+\frac{3π}{4}$）-sin（$α+\frac{π}{4}$）sin（$β+\frac{3π}{4}$）]
=-[（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）×$（-\frac{\sqrt{10}}{10}）-\frac{\sqrt{5}}{5}×（-\frac{3\sqrt{10}}{10}）$]
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基本知识的考查．