Question

13．已知曲线f（x）=x³+ax+b在点（2，-6）处的切线方程是13x-y-32=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-$\frac{1}{4}$x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

分析 （I）求出函数的导数，由切线方程，可得f′（2）=12+a=13，f（2）=8+2a+b=-6，解方程可得a，b的值；
（II）设切点的坐标为（x₀，y₀），由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标和切线方程．

解答 解：（I）∵f（x）=x³+ax+b的导数f′（x）=3x²+a，
由题意可得f′（2）=12+a=13，f（2）=8+2a+b=-6，
解得a=1，b=-16；
（II）∵切线与直线y=-$\frac{x}{4}$+3垂直，
∴切线的斜率k=4．
设切点的坐标为（x₀，y₀），
则f′（x₀）=3x₀²+1=4，
∴x₀=±1，
由f（x）=x³+x-16，可得y₀=1+1-16=-14，或-1-1-16=-18．
则切线方程为y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，确定切点是解题的关键．