Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{4x+m}$（m＞0），当x₁、x₂∈R，且x₁+x₂=1时，总有f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$．
（1）求m的值．
（2）设S_n=f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$），求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意，可令x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，代入函数，计算即可得到m=2，
（2）由（1），运用倒序相加求和方法，即可得到S_n．

解答 解  （1）取x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2+m}$=$\frac{1}{4}$，所以m=2．
（2）因为当x₁、x₂∈R，且x₁+x₂=1时，总有f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$，
所以f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{n}{n}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）=$\frac{1}{2}$，
因为S_n=f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n}{n}$），
故S_n=f（$\frac{n}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{0}{n}$）．
两式相加得：
2S_n=[f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{n}{n}$）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n}{n}$）+f（$\frac{0}{n}$）]=$\frac{n+1}{2}$，
所以S_n=$\frac{n+1}{4}$．

点评 本题考查函数的求值，主要考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于中档题．