Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4sin²θ-3sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-λ），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则λ的取值范围是$[-\frac{9}{16}，7]$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，化为λ=$4（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$-$\frac{9}{16}$．利用sinθ∈[-1，1]及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4sin²θ-3sinθ-λ=0，
∴λ=$4（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$-$\frac{9}{16}$．
∵sinθ∈[-1，1]，
∴$（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$∈$[0，\frac{121}{64}]$．
∴λ∈$[-\frac{9}{16}，7]$．
故答案为：$[-\frac{9}{16}，7]$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角函数的值域、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．