Question

18．已知函数f（x）=1+2^x，g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

分析 （1）由|x|≥0可得2^|x|≥1，从而求得函数g（x）的值域；
（2）把函数解析式代入f（x）-g（x）=0，然后对x分类求解得答案．

解答 解：（1）由g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3，
∵|x|≥0，∴2^|x|≥1，
∴$0＜\frac{1}{{2}^{|x|}}≤1$，则g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3的值域为（3，4]；
（2）由f（x）-g（x）=0，得
1+2^x-$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$-3=0，即${2}^{x}-2=\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
当x≥0时，方程化为（2^x）²-2•2^x-1=0，解得${2}^{x}=\sqrt{2}+1$，∴x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$；
当x＜0时，方程化为2^x-2=2^x，此式显然无解．
综上，满足方程f（x）-g（x）=0的x的值为$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了指数方程的解法，是基础题．