Question

14．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，G，H分别为DA₁，CA₁中点
（1）求证：GH∥平面CDD₁C₁
（2）求证：BC₁⊥平面A₁CD
（3）求三棱锥A-BCG的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线的性质，证明GH∥CD，即可证明GH∥平面CDD₁C₁
（2）连接B₁C，证明：BC₁⊥平面A₁B₁CD，即可证明BC₁⊥平面A₁CD
（3）三棱锥A-BCG的体积，等于三棱锥G-ABC的体积．

解答 （1）证明：∵G，H分别为DA₁，CA₁中点，
∴GH∥CD，
∵GH?平面CDD₁C₁，CD?平面CDD₁C₁，
∴GH∥平面CDD₁C₁
（2）证明：连接B₁C，则B₁C⊥BC₁，
∵BC₁⊥CD，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD
即BC₁⊥平面A₁CD；
（3）解：三棱锥A-BCG的体积，等于三棱锥G-ABC的体积，即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查线面平行与垂直，考查三棱锥A-BCG的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．