Question

14．关于函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$，下列叙述一定正确的序号为①是奇函数；②a＞0时，f（x）有最大值$\frac{\sqrt{a}}{2a}$；③函数图象经过坐标原点（0，0）（　　）

• A． ②
• B． ①②
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据函数解析式分析器奇偶性和最值等，得到正确选项．

解答 解：由已知解析式得到函数定义域为R，
对于①，f（-x）=$\frac{-x}{（-x）^{2}+a}=-\frac{x}{{x}^{2}+a}$=-f（x）；所以为奇函数；故①正确；
对于②，a＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{a}{x}}≤\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2a}$，当且仅当x=$\frac{a}{x}$时等号成立；故②正确；
对于③，只有a≠0时，函数图象经过坐标原点（0，0），故③错误；
故选B．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断、最值求法等；将解析式适当变形是关键．