Question

4．已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$sinB$\overrightarrow{GB}$+3sinC$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则cosB=（　　）

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据正弦定理把2sinA$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$sinB$\overrightarrow{GB}$+3sinC$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$化为2a•$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
再利用三角形重心的性质$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$进行化简，得出a、b、c的关系，利用余弦定理求出cosB的值．

解答 解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，
∵2sinA$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$sinB$\overrightarrow{GB}$+3sinC$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
由正弦定理得，2a•$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$b•$\overrightarrow{GB}$+3c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴2a•$\overrightarrow{GA}$+$\sqrt{3}$b•$\overrightarrow{GB}$=-3c•$\overrightarrow{GC}$=-3c（-$\overrightarrow{GA}$-$\overrightarrow{GB}$），
即（2a-3c）$\overrightarrow{GA}$+（$\sqrt{3}$b-3c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
又∵$\overrightarrow{GA}$、$\overrightarrow{GB}$不共线，
∴2a-3c=0，且$\sqrt{3}$b-3c=0，
即2a=$\sqrt{3}$b=3c，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{\frac{3}{4}b}^{2}+{\frac{1}{3}b}^{2}{-b}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}b×\frac{\sqrt{3}}{3}b}$=$\frac{1}{12}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．