Question

9．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知2bcosA=acosC+ccosA
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，b=5，求sinBsinC的值．
（3）若2sin²$\frac{B}{2}+2{sin^2}\frac{C}{2}$=1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，可求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用三角形面积公式和已知条件求得c，然后利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得2R，最后代入sinBsinC的表达式中求得答案．
（3）化简可得$sin（B+\frac{π}{3}）=1$，结合B的范围，可求B，C，即可得解．

解答 解：（1）由2bcosA=acosC+ccosA得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，所以$cosA=\frac{1}{2}$，所以$A=\frac{π}{3}$． …（4分）
（2）由$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bc•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=5\sqrt{3}$，得bc=20．…（5分）
又b=5，知c=4．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=21，…（7分）
又由正弦定理得△ABC，4R²=$\frac{{a}^{2}}{si{n}^{2}A}$=$\frac{21}{\frac{3}{4}}$=28．
∴sinBsinC=$\frac{bc}{4{R}^{2}}$=$\frac{20}{28}$=$\frac{5}{7}$．…（9分）
（3）∵$2{sin^2}\frac{B}{2}+2{sin^2}\frac{C}{2}=1$，
∴1-cosB+1-cosC=1即cosB+cosC=1…（10分）
∴$cosB-cos（\frac{π}{3}+B）=1$即$\frac{1}{2}cosB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB=1$，
∴$sin（B+\frac{π}{3}）=1$，
∵$B∈（{0，\frac{2π}{3}}）∴B=\frac{π}{3}$…（13分）
由（1）得$A=\frac{π}{3}$，所以$C=\frac{π}{3}$
所以△ABC为等边三角形．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的转化和化归，属于中档题．