Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA₁=2，则异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，
建立空间直角坐标系．
C（0，0，0），B（1，0，0），A₁（0，1，2），
B₁（1，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{C{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$=$\frac{1-4}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了计算能力，属于基础题．