Question

10．设F₁、F₂是双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点，点P在双曲线上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则点P到x轴的距离等于$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设出点P坐标（x，y），由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值，即得点P到x轴的距离．

解答 解：设点P（x，y），
由双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$可知F₁（-$\sqrt{10}$，0）、F₂（$\sqrt{10}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，
∴（-$\sqrt{10}$-x，-y）•（$\sqrt{10}$-x，-y）=0，
∴x²+y²=10，
与双曲线方程${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$联立，可得y²=$\frac{81}{10}$，
∴|y|=$\frac{9}{10}\sqrt{10}$，
∴P到x轴的距离是$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{9}{10}\sqrt{10}$．

点评 本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．