Question

12．（1）找出一个等比数列{a_n}，使得1，$\sqrt{2}$，4为其中的三项，并指出分别是{a_n}的第几项；
（2）证明：$\sqrt{2}$为无理数；
（3）证明：1，$\sqrt{2}$，4不可能为同一等差数列中的三项．

Answer 1

分析 （1）根据题意取一个等比数列{a_n}：首项为1、公比为$\sqrt{2}$，由等比数列的通项公式求出a_n，再求出a_n=4时的项数n即可判断；
（2）假设$\sqrt{2}$是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得$\sqrt{2}=\frac{h}{k}$，再进行证明直到推出矛盾；
（3）假设1，$\sqrt{2}$，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．

解答 解：（1）取一个等比数列{a_n}：首项为1、公比为$\sqrt{2}$，
则${a}_{n}=（\sqrt{2}）^{n-1}$，…2分
则令${a}_{n}={（\sqrt{2}）}^{n-1}$=4，解得n=5，
所以a₁=1，${a}_{2}=\sqrt{2}$，a₅=4． …4分
（2）证明：假设$\sqrt{2}$是有理数，则存在互质整数h、k，使得$\sqrt{2}=\frac{h}{k}$，…5分
则h²=2k²，所以h为偶数，…7分
设h=2t，t为整数，则k²=2t²，所以k也为偶数，
则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分
所以假设不成立，所以$\sqrt{2}$是有理数． …10分
（3）证明：假设1，$\sqrt{2}$，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分
设公差为d，显然d≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}=1+（m-n）d}\\{4=1+（p-n）d}\end{array}\right.$，
消去d得，$\sqrt{2}=1+\frac{3（m-n）}{p-n}$，…13分
由n、m、p都为整数，所以$1+\frac{3（m-n）}{p-n}$为有理数，
由（2）得$\sqrt{2}$是无理数，所以等式不可能成立，…15分
所以假设不成立，即1，$\sqrt{2}$，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分．

点评 本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．