Question

19．求过圆x²+y²+4x-3y+5=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析 若圆的面积最小，圆M以已知两相交圆的公共弦为直径，即可求圆M的方程

解答 解：设所求圆x²+y²+4x-3y+5+λ（x²+y²+2x-4y+1）=0，
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+（4+2λ）x-（3+4λ）y+5+λ=0，
其圆心为（-$\frac{2+λ}{1+λ}$，$\frac{3+4λ}{2（1+λ）}$），
∵圆的面积最小，∴所求圆以已知两相交圆的公共弦为直径，
相交弦的方程为2x+y+4=0，将圆心（-$\frac{2+λ}{1+λ}$，$\frac{3+4λ}{2（1+λ）}$），代人2x+y+4=0，
得λ=-$\frac{3}{8}$，所以所求圆$\frac{5}{8}$x²+$\frac{5}{8}$y²+$\frac{13}{4}$x-$\frac{3}{2}$y+$\frac{37}{8}$=0，
即为x²+y²+$\frac{26}{5}$x+$\frac{12}{5}$y+$\frac{37}{5}$=0．

点评 本题考查圆系方程的应用，圆的方程的求法，考查计算能力