Question

11．已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求tanα的值．
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 由题意画出图形，（1）由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得到C是线段AB的垂直平分线与单位圆的交点；由此得到tanα；
（2）由已知的点的坐标得到向量的坐标，利用数量积求出α，代入代数式利用倍角公式等计算．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
所以：（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得到（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，解得sinα=cosα，所以tanα=1；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，则（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，整理得1-3$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）=-1，所以sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，所以cos（2α$+\frac{π}{2}$）=1-2sin²（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{9}$=-sin2α，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{1+\frac{sinα}{cosα}}=2sinαcosα=sin2α$=-$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算以及三角函数式的化简求值；用到了向量的数量积公式、倍角公式、两角和与差的三角函数公式．