Question

3．已知复数z同时满足下列两个条件：
①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限．
②1＜z+$\frac{2}{z}$≤4
（Ⅰ）求出复数z；
（Ⅱ）求|$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$|

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，设出复数z，通过1＜z+$\frac{2}{z}$≤4求出即可复数z；
（Ⅱ）化简$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$为a+bi的形式，然后利用复数的模求解即可．

解答 解：由题意设复数z=a+bi，a＞0，b＜0，a，b∈Z．
（Ⅰ）1＜z+$\frac{2}{z}$≤4，可得：$1＜a+bi+\frac{2}{a+bi}≤4$，
可得1＜a+$\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+bi-$\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}i$≤4，
可得b-$\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}=0$，解得a²+b²=2  
1＜a+$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤4，a＞0，b＜0，a，b∈Z．
可得a=1，b=-1，
z=1-i．
（Ⅱ）|$\overline{z}$+$\frac{2-i}{2+i}$|=$|1+i+\frac{2-i}{2+i}|$=$|1+i+\frac{（2-i）^{2}}{5}|$=$|\frac{8}{5}+\frac{i}{5}|$=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算魔法师的模的求法，考查计算能力．