Question

15．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$），求使g（θ）≤-1成立的θ的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，从而可求值域．
（Ⅱ）由g（θ）=f（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-1，可得cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2θ+$\frac{7π}{12}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，解得使g（θ）≤-1成立的θ的集合．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]．
（Ⅱ）∵g（θ）=f（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos[2（θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-1，
∴cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴可得：2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2θ+$\frac{7π}{12}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，解得使g（θ）≤-1成立的θ的集合为：{θ|k$π+\frac{π}{12}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．