Question

7．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜-1
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|对任意x∈R成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分类讨论去掉绝对值符号求解f（x）＜-1即可．
（Ⅱ）f（x）≤a|x-2|对任意x∈R成立，通过变形利用绝对值的几何意义求出表达式的最值，然后求实数a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜-1即：|x+1|-|2x-1|＜-1，
当x＜-1时，不等式化为：-x-1+2x-1＜-1，可得x＜-1；
当-1≤x＜$\frac{1}{2}$时，不等式化为：x+1+2x-1＜-1，可得-1≤x＜-$\frac{1}{3}$；
当x$≥\frac{1}{2}$时，不等式化为：x+1-2x+1＜-1，解得x＞3；
综上，不等式的解集为：{x|x$＜-\frac{1}{3}$或x＞3}．
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|对任意x∈R成立，即：|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|．
可得：$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|≤a$对任意x∈R成立，只需求出$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|$的最大值，
而$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|$=$|1+\frac{3}{x-2}|-|2+\frac{3}{x-2}|$，令$\frac{3}{x-2}=t$，可得|1+t|-|2+t|≤a，
由绝对值的几何意义可知|1+t|-|2+t|的最大值为：!，
实数a的最小值为：1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想的应用以及计算能力．