Question

2．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x-2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．
（2）根据定积分的定义可得答案．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x-2
∴a=1，b=-2．
∴f（x）=x^2-2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式△=4-4c=0，即c=1．
故f（x）=x²-2x+1．
（2）依题意，有所求面积=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-2x+1）dx=（\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+x）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$
故y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用．属基础题．