Question

14．已知等差数列{a_n}满足a₂=-1，a₄+a₁₀=-22
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3-{a}_{n}}{2}$，数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设数列{a_n}的公差为d，利用a₄+a₁₀=-22，计算即可；
（2）通过a_n=-2n+3，可得b_n=n，进而$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=-1，∴a₄=-1+2d，a₁₀=-1+8d，
又∵a₄+a₁₀=-22，
∴（-1+2d）+（-1+8d）=-22，
解得：d=-2，
∴a₁=-1-（-2）=1，
∴数列{a_n}的通项a_n=1-2（n-1）=-2n+3；
（2）∵a_n=-2n+3，
∴b_n=$\frac{3-{a}_{n}}{2}$=$\frac{3-（-2n+3）}{2}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查求数列的和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．