Question

9．求y=$\frac{6\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+4}$的最大值．

Answer 1

分析 换元，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设$\sqrt{{x}^{2}+1}$=t（t≥1），则y=$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$=$\frac{6}{t+\frac{3}{t}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{t•\frac{3}{t}}}$=$\sqrt{3}$，
当且仅当t=$\sqrt{3}$时取等号，所以y=$\frac{6\sqrt{{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+4}$的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数的最大值，考查换元法的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．