Question

3．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，则$\frac{y+1}{x}$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 2+$\sqrt{6}$
• D． 2-$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，可得（x-2）²+y²=3．设圆的切线l：y=kx-1，利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得k²-4k-2=0，解出即可．

解答 解：∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴（x-2）²+y²=3．
设圆的切线l：y=kx-1，
则$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{3}$，
化为k²-4k-2=0，
解得$k=2±\sqrt{6}$．
∴$\frac{y+1}{x}$的最大值为2+$\sqrt{6}$．
故选：C．

点评 本题考查了复数模的计算公式、圆的标准方程及其切线的性质、点到直线的距离公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．