Question

14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的两个焦点分别为F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．k为何值时OA⊥OB？此时线段AB的值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得椭圆的焦点在y轴上，且c=$\sqrt{3}$，运用离心率公式可得a=2，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线代入椭圆的方程，再利用韦达定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根据向量垂直的条件可得数量积为0，求得k的值．根据弦长公式，计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得椭圆的焦点在y轴上，且c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{4+{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（$\frac{-3}{4+{k}^{2}}$）+k（-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$）+1=0，
化间得-4k²+1=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．
此时，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（±\frac{4}{17}）^{2}+4×\frac{12}{17}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用和韦达定理和弦长公式的运用，属于中档题．