Question

20．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，是否存在实数m，n（m＜n），使得当x∈[m，n]时，函数的值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 判断得出f（x）在区间[m，n]上单调递增，判断得出条件$\left\{\begin{array}{l}{m＜n≤1}\\{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=2m}\\{f（m）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x
∴对称轴x=1，[1，+∞）单调递减，（-∞，1）单调递增，
假设存在实数m，n（m＜n），使函数f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
则f（x）在区间[m，n]上单调递增，故有
$\left\{\begin{array}{l}{m＜n≤1}\\{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=2m}\\{f（m）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=2n}\end{array}\right.$
，故存在m=-2、n=0，满足条件的m，n的值存在．

点评 本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题