Question

15．用数学归纳法证明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{127}{64}$（n∈N₊）成立，其初始值至少应取8．

Answer 1

分析 先通过解原不等式知，要使原不等式成立，n最小取8，从而根据数学归纳法的步骤证明原不等式对于任意正整数n≥8成立：1）n=8时成立；2）假设n=k时成立，然后证明n=k+1时成立即可．

解答 证明：根据等比数列求和公式将原不等式变成：$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{\frac{1}{2}}＞\frac{127}{64}$；
∴$\frac{1}{128}＞（\frac{1}{2}）^{n}$；
∴要使原不等式成立，n最小取8；
∴（1）n=8时原不等式成立；
（2）假设n=k时原不等式成立，即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}＞\frac{127}{64}$；
∴n=k+1时，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{2}^{k}}＞\frac{127}{64}+\frac{1}{{2}^{k}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}＞0$；
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k}}＞\frac{127}{64}$；
即n=k+1时原不等式成立；
∴由（1）（2）知原不等式对于任意正整数n≥8都成立．
由前面知n最小取8；
∴其初始值最小取8．
故答案为：8．

点评 考查等比数列的前n项和公式，以及利用数学归纳法证明命题的步骤，指数式的符号．