Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆短轴长为$\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若点M（-$\frac{7}{3}$，0），求证：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2b=$\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$，a²=b²+c²．联立解出即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，△＞0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$，即可证明．

解答 （1）解：∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2b=$\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$，a²=b²+c²．
联立解得a²=5，${b}^{2}=\frac{5}{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{3{y}^{2}}{5}$=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，化为（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-5）=48k²+20＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{1+3{k}^{2}}$．
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{7}{3}，{y}_{1}）$•$（{x}_{2}+\frac{7}{3}，{y}_{2}）$=$（{x}_{1}+\frac{7}{3}）（{x}_{2}+\frac{7}{3}）$+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂+$（\frac{7}{3}+{k}^{2}）$（x₁+x₂）+$\frac{49}{9}$+k²
=$\frac{（1+{k}^{2}）（3{k}^{2}-5）}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{7+3{k}^{2}}{3}×（-\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}）$+$\frac{49}{9}+{k}^{2}$=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题