Question

16．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²
（1）求f（0）
（2）求f（$\frac{2015}{2}$）
（3）画y=f（x）草图
（4）求y=f（x）与y=log₅x图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）直接代值计算即可，
（2）先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），得出f（x）是周期为2的周期性函数，而f（$\frac{2015}{2}$）=f（504×2-$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），问题得以解决．
（3）根据函数的周期性画出图形即可
（4）再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．

解答 解：（1）∵x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
∴f（0）=0，
（2）∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，
∴f（$\frac{2015}{2}$）=f（504×2-$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
（3）根据函数的周期性画出图形，如图所示，
（4）再画出y=y=log₅x图象，
由图可得y=f（x）与y=log₅x的图象有4个交点．

点评 本题考查抽象函数图象和性质，关键是求出函数的周期为2，并结合函数的图象进行判断，属于中档题．