Question

8．已知α，β满足方程acosx+bsinx=c，其中a，b，c为常数，且a²+b²≠0，求证：当α≠β时，4cos²$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$=$\frac{（a+c）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 由半角公式，所求证等式的左端=（1+cosα）（1+cosβ）=1+（cosα+cosβ）+cosαcosβ，利用韦达定理代入即可．

解答 证明：∵acosx+bsinx=c，
∴（bsinx）²=（c-acosx），
即b²（1-cos²x）=c²+a²cos²x-2accosx，整理得（a²+b²）cos²x-2accosx+c²-b²=0，
由韦达定理知cosα+cosβ=$\frac{2ac}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，cosα•cosβ=$\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴4cos²$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$=（1+cosα）（1+cosβ）=1+cosα•cosβ+cosα+cosβ=1+$\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{2ac}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{（a+c）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用．此题运用了联想类比的手法，由已知条件和上式中cosα+cosβ、cosαcosβ的组合结构，我们联想到韦达定理，进而想到必须将acosx+bsinx=c转化为关于cosx的二次方程．