Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2a_n+1=S_n+2．
（1）求a₂，a₃，并求数列通项公式a_n；
（2）求S_n；
（3）求{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由条件，将n换成n-1，两式相减，由等比数列的定义和通项，可得数列的通项公式；
（2）运用已知2a_n+1=S_n+2，即可解得前n项和为S_n；
（3）由等比数列的求和公式，计算即可得到前n项和T_n．

解答 解：（1）a₁=1，2a_n+1=S_n+2，
即有2a_n=S_n-1+2，n＞1．
相减可得，2a_n+1-2a_n=a_n，
即为a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，
由2a₂=a₁+2，可得a₂=$\frac{3}{2}$，
2a₃=a₁+a₂+2，可得a₃=$\frac{9}{4}$，
由等比数列的通项公式可得a_n=$\frac{3}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2，n＞1．
即有a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，对n=1也成立，
则数列的通项公式为a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1；
（2）由2a_n+1=S_n+2，可得
S_n=2a_n+1-2=2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ-2；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{2}{3}$）^n-1；
则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=3-3•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．