Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，则△ABC为（　　）

• A． 三边均不相等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰非等边三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$是分别与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共线同向的单位向量，得出向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$角A的平分线共线，△ABC中∠A平分线与边BC的高线重合，利用三角形的几何性质判断即可．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$是分别与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共线同向的单位向量，
∴根据菱形的几何意义得出：向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$角A的平分线共线，
∵（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴△ABC中∠A平分线与边BC的高线重合，
∴AB=AC，
∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，
∴1×1×cos∠A=$\frac{1}{4}$，
即∠A是不等于60°的锐角，
∴△ABC为等腰三角形，但不是等边三角形．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，数量积的运用判断角的问题，平面几何图形的几何性质，考查了图形的运用能力．