Question

6．已知函数h（x）=ae^x-ln（x+b），其中a，b为常数，其函数图象在x=0处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+1-ln2．
（1）求a，b的值；
（2）证明：ae^x＞ln（x+b）．

Answer 1

分析 （1）利用f'（0）=$\frac{1}{2}$，f（0）=1-ln2，求得a，b．
（2）构造函数G（x）=-x-1，利用导数求解最值得出G（x）≥0，在x≥0恒成立，利用放缩e^x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1），得出（x+1）＞ln（x+2），即可得证e^x＞ln（x+2）．

解答 解：（1）f'（x）=$a{e}^{x}-\frac{1}{x+b}$
∵f'（0）=$\frac{1}{2}$，即a-$\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$，
又h（0）=1-ln2
即a-lnb=1-ln2．
∴a=1，b=2
（2）证明：令G（x）=e^x-x-1，G′（x）=e^x-1，
当x∈（0，+∞），G′（x）＞0
所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增；G（x）＞G（0）=0（x＞0）；
所以e^x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1），
所以x+1＞ln（x+2）
∴e^x＞x+1＞ln（x+2）

点评 本题综合考察了函数的性质，导数在求解函数极值，证明不等式，求解字母的范围问题，难度较大，属于难题．