Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，-cosωx），其中ω＞0，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{4}$
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）若x∈（0，$\frac{π}{3}$]，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值
（Ⅲ）若x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），f（x）=-$\frac{3}{5}$，求cos4x的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用两相邻对称轴间的距离求得函数的周期，进而根据周期公式求得ω．
（2）y由x范围得到f（x）的范围利用正弦函数的图象和性质得到m的值；
（3）根据（1）中整理函数解析式，依据f（x）=-$\frac{3}{5}$和同角三角函数的基本关系求得cos（4x-$\frac{π}{6}$）的值，进而根据cos4x=cos（4x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）利用两角和公式求得答案．

解答 解：由题意，f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
（1）∵两相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=2．
（2）由（1）得到f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$），
因为x∈（0，$\frac{π}{3}$]，所以4x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（4x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，要使f（x）=m有且仅有一个实根，只要m=-$\frac{1}{2}$或者m=1；
（3）由（1）得，f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，
∵x∈（$\frac{7π}{24}$，$\frac{5π}{12}$），
∴4x-$\frac{π}{6}$∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（4x-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos（4x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=cos（4x-$\frac{π}{6}$）cos $\frac{π}{6}$-sin（4x-$\frac{π}{6}$）sin $\frac{π}{6}$=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值，正弦函数和余弦函数的单调性．考查了三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．