Question

10．美国NBA篮球总决赛采用七局四胜制，即先胜四局的队获胜，比赛结束，2012年美国东部热火队与西部雷霆队分别进入总决赛，已知热火队与雷霆队的实力相当，即单局比赛每队获胜的概率均为$\frac{1}{2}$．若第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每一场门票收入都比上一场增加10万美元，设各局比赛相互之间没有影响．
（1）求组织者在本次比赛中门票收入为180万元的概率；
（2）若组织者在本次比赛中获门票收入不低于330万美元，其概率为多少？

Answer 1

分析 （1）获门票收入为180万元，即比赛进行了四场后结束，也就是甲或乙连胜四局，由于每局比赛相互独立，故可用独立事件同时发生的概率计算连胜四局的概率，最后由互斥事件有一个发生的概率计算获门票收入为180万元的概率
（2）决赛中获门票收入不低330万元，包括两个互斥事件，即比赛6局结束比赛和比赛7局结束比赛，比赛6局结束比赛即前5局甲（或乙）赢3局，最后一局甲（或乙）胜；比赛7局结束比赛，即前6局甲乙互赢3局，最后一局甲（或乙）胜，分别计算概率即可．

解答 解：（1）根据题意，若门票收入为120万元，则甲或乙队连胜4场，
分析可得，甲队连胜4场与乙队连胜4场是互斥事件，
故其概率为则P₁=2×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$，
（2）根据题意，门票收入不低于330万元即门票收入为330万元或340万元，
若门票收入为330万元，比赛6局结束比赛即前5局甲（或乙）赢3局，最后一局甲（或乙）胜，
故其概率为：P₂=2C₅³（$\frac{1}{2}$）³×（$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
若门票收入为340万元，比赛7局结束比赛，即前6局甲乙互赢3局，最后一局甲（或乙）胜，
故其概率为：P₃=2C₆³（$\frac{1}{2}$）³×（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
由互斥事件的概率，可得门票收入不低于340万元的概率是$\frac{5}{16}$+$\frac{5}{16}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查互斥事件、相互独立事件、对立事件的概率，首先分析题意，明确事件之间的相互关系，属于中档题．