Question

20．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n为偶数}\\{n，n为奇数}\end{array}\right.$，求数列{a_n}的前n项和S_n ．

Answer 1

分析 当n=2k（k∈N^*）时，S_n=S_2k=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k），利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；当n=2k-1（k∈N^*）时，S_2k-1=S_2k-a_2k．即可得出．

解答 解：当n=2k（k∈N^*）时，S_n=S_2k=[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=$\frac{k（1+2k-1）}{2}$+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$
=k²+$\frac{{4}^{k+1}-4}{3}$，
=$\frac{{n}^{2}}{4}$+$\frac{{2}^{n+2}-4}{3}$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_2k-1=S_2k-a_2k=$\frac{{n}^{2}}{4}$+$\frac{{2}^{n+2}-4}{3}$-2ⁿ．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．