Question

5．已知圆G经过点A（-5，0），B（1，0），C（-3，-2$\sqrt{2}$）三点．
（1）求圆G的方程；
（2）设D是圆G上异于A，B的任意一点，直线AD，BD交直线l：x=5于A′，B′两点，求证：以线段A′B′为直径的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设圆G的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代点可得D、E、F的方程组，解方程组可得；
（2）设直线AD的方程为y=k₁（x+5），直线BD的方程为y=k₂（x-1），易得k₁k₂=-1，可得圆的方程为（x-5）²+y²-（10k₁-4k₂）y-40k₁k₂=40，令y=0解方程可得定点．

解答 解：（1）设圆G的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆G经过点A（-5，0），B（1，0），C（-3，-2$\sqrt{2}$）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5D+F+25=0}\\{D+F+1=0}\\{-3D-2\sqrt{2}E+F+17=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=0}\\{F=-5}\end{array}\right.$
∴圆G的方程为x²+y²+4x-5=0；
（2）∵A（-5，0），B（1，0），
设直线AD的方程为y=k₁（x+5），直线BD的方程为y=k₂（x-1），
∵D是圆G上异于A，B的任意一点，AB为圆G的直径，∴AD⊥BD，
∴k₁k₂=-1，又直线AD，BD交直线l：x=5于A′，B′两点，
∴A′（5，10k₁），B′（5，4k₂），
∴以线段A′B′为直径的圆的圆心为（5，5k₁+2k₂），半径$\frac{1}{2}$|10k₁-4k₂|，
∴以线段A′B′为直径的圆的方程为（x-5）²+（y-5k₁-2k₂）²=$\frac{1}{4}$|10k₁-4k₂|²，
整理可得（x-5）²+y²-（10k₁-4k₂）y-40k₁k₂=40，
令y=0可得（x-5）²=40，解得x₁=5+2$\sqrt{5}$，x₂=5-2$\sqrt{5}$，
∴以线段A′B′为直径的圆必经过定点（5，5+2$\sqrt{5}$），（5，5-2$\sqrt{5}$）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆过定点问题，属中档题．